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    直线与圆的位置关系难不难?教你如何攻克中考几何疑难点!!

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    发表于 2018-1-2 15:33:36 | 显示全部楼层 |阅读模式
    直线与圆的位置关系难不难?教你如何攻克中考几何疑难点

            中考数学几何内容,大体来说主要集中在三角形、四边形、圆这三大部分内容。很多考生对三角形和四边形相关知识内容比较了解,但对圆的相关知识内掌握的却不够熟练。

            通过研究近几年的中考数学试卷,特别是对照2017年的中考数学试卷,我们可以发现在全国很多地方的中考数学,圆这一块知识内容仍然占据重要的位置,是中考数学几何热点之一。

           圆这一章节知识点、定理等较多,如果不彻底掌握好,在解题时候很容易造成知识点“混乱”,从而丢失分数。

          为了能更好帮助大家中考复习,学好圆这一块知识内容,今天我们就一起来讲讲直线和圆的位置关系相关的知识点、定理等等,通过典型例题分析和讲解,希望能帮助大家提高学习成绩。
         直线和圆有三种位置关系,具体如下:

          1、相交:直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点;

          2、相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,

          3、相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。

          中考数学,直线与圆的位置关系,典型例题分析1:

          如图,D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.

        (1)求证:CD是⊙O的切线;

        (2)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E,若BC=6,tan∠CDA=2/3,求BE的长.

    640.webp (6).jpg

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          考点分析:

          切线的判定与性质;圆周角定理;相似三角形的判定与性质;计算题。

          题干分析:

        (1)连OD,OE,根据圆周角定理得到∠ADO+∠1=90°,而∠CDA=∠CBD,∠CBD=∠1,于是∠CDA+∠ADO=90°;

        (2)根据切线的性质得到ED=EB,OD⊥BD,则∠ABD=∠OEB,得到tan∠CDA=tan∠OEB=OB/BE=2/3,易证Rt△CDO∽Rt△CBE,得到,

         CD/CB=OD/BE=OB/BE=2/3求得CD,然后在Rt△CBE中,运用勾股定理可计算出BE的长。


       解题反思:
                                  
           本题考查了切线的判定与性质:过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线;也考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质。

           直线与圆的位置关系,从数量关系上我们可以这么去看待:如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么:

    直线l与⊙O相交<=>d<r;

    直线l与⊙O相切<=>d=r;

    直线l与⊙O相离<=>d>r;

           根据直线与圆的位置关系,我们可以得到一些重要定理,如切线的性质和判定、三角形内切圆、切线长等相关知识点。

    什么是切线?

    在平面中,将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线。

    那么如判定一条直线是不是切线?它有哪些性质呢?

    切线的判定定理:

    经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

    切线的性质定理:

    圆的切线垂直于经过切点的半径。

    中考数学,直线与圆的位置关系,典型例题分析2:

            已知A、B、C是⊙O上的三个点.四边形OABC是平行四边形,过点C作⊙O的切线,交AB的延长线于点D.

           (Ⅰ)如图①,求∠ADC的大小.

          (Ⅱ)如图②,经过点O作CD的平行线,与AB交于点E,与交于点F,连接AF,求∠FAB的大小.

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    考点分析:

    切线的性质;平行四边形的性质.

    题干分析:

            (Ⅰ)由CD是⊙O的切线,C为切点,得到OC⊥CD,即∠OCD=90°由于四边形OABC是平行四边形,得到AB∥OC,即AD∥OC,根据平行四边形的性质即可得到结果;

           (Ⅱ)如图,连接OB,则OB=OA=OC,由四边形OABC是平行四边形,得到OC=AB,△AOB是等边三角形,证得∠AOB=60°,由OF∥CD,又∠ADC=90°,得∠AEO=∠ADC=90°,根据垂径定理即可得到结果。

    解题反思:

    本题考查了切线的性质,平行四边形的性质,垂径定理,等边三角形的判定,熟练掌握定理是解题的关键。

    掌握好切线长定理:

            切线长:在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

           切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

    什么是三角形的内切圆?

    与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

    什么是三角形的内心?

    三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点,它叫做三角形的内心。

    中考数学,直线与圆的位置关系,典型例题分析3:

             如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的切线,切点为C.延长AB交CD于点E.连接AC,作∠DAC=∠ACD,作AF⊥ED于点F,交⊙O于点G.

    (1)求证:AD是⊙O的切线;

    (2)如果⊙O的半径是6cm,EC=8cm,求GF的长.

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    考点分析:

    切线的判定与性质;勾股定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质;证明题。

    题干分析:

    (1)连接OC.欲证AD是⊙O的切线,只需证明OA⊥AD即可;

            (2)连接BG.在Rt△CEO中利用勾股定理求得OE=10,从而求得AE=13;然后由相似三角形Rt△AEF∽Rt△OEC的对应边成比例求得AF=9.6,再利用圆周角定理证得Rt△ABG∽Rt△AEF,根据相似三角形的对应边成比例求得AG=7.2,所以GF=AF﹣AG=9.6﹣7.2=2.4.

    解题反思:

           本题综合考查了圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的应用。要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可。



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