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    学好解直角三角形,让中考轻轻松松多拿10分!!

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    发表于 2017-12-15 13:04:34 | 显示全部楼层 |阅读模式
    学好解直角三角形,让中考轻轻松松多拿10分!!

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    直角三角形是初中几何中最重要的内容之一,可以说是每年中考数学必考几何热点之一。其中,解直角三角形是直角三角形最经典应用内容,如测高、测距、航海、堤坝的横截面等实际问题,一直备受中考数学命题老师的青睐。

    在一些文章里,本人经常强调,运用数学知识解决实际问题一直是中考数学的重点考查对象。正因为运用解直角三角形能很好解决实际问题,其就成为中考命题的热点之一。

    什么是解直角三角形?

    在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

    解直角三角形需要除直角之外的两个元素,且至少有一个元素是边。

    直角三角形最常见的两个性质:

    1、直角三角形的两个锐角互余

    可表示如下:∠A+∠B=90°

    2、勾股定理

    直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即a2+b2=c2.

    4e6a00015c4ca871b439.jpg

    中考数学,解直角三角形,典型例题分析1:

    2016年2月1日,我国在西昌卫星发射中心,用长征三号丙运载火箭成功将第5颗新一代北斗星送入预定轨道,如图,火箭从地面L处发射,当火箭达到A点时,从位于地面R处雷达站测得AR的距离是6km,仰角为42.4°;1秒后火箭到达B点,此时测得仰角为45.5°

    (1)求发射台与雷达站之间的距离LR;

    (2)求这枚火箭从A到B的平均速度是多少(结果精确到0.01)?

    (参考数据:son42.4°≈0.67,cos42.4°≈0.74,tan42.4°≈0.905,sin45.5°≈0.71,cos45.5°≈0.70,

    tan45.5°≈1.02 )

    4e6a00015c49693f3c34.jpg

    学好解直角三角形,让中考轻轻松松多拿10分

    解:(1)在Rt△ALR中,AR=6km,∠ARL=42.4°,

    由cos∠ARL=RL/AR,得LR=AR•cos∠ARL=6×cos42.4°≈4.44(km).

    答:发射台与雷达站之间的距离LR为4.44km;

    (2)在Rt△BLR中,LR=4.44km,∠BRL=45.5°,

    由tan∠BRL=BL/LR,

    得BL=LR•tan∠BRL=4.44×tan45.5°≈4.44×1.02=4.5288(km),

    又∵sin∠ARL=AL/AR,得AL=ARsin∠ARL=6×sin42.4°≈4.02(km),

    ∴AB=BL﹣AL=4.5288﹣4.02=0.5088≈0.51(km).

    答:这枚火箭从A到B的平均速度大约是0.51km/s.

    考点分析:

    勾股定理的应用.

    题干分析:

    (1)根据题意直接利用锐角三角函数关系得出LR=AR•cos∠ARL求出答案即可;

    (2)根据题意直接利用锐角三角函数关系得出BL=LR•tan∠BRL,再利用AL=ARsin∠ARL,求出AB的值,进而得出答案。

    解题反思:

    此题主要考查了解直角三角形的应用,正确选择锐角三角函数关系是解题关键。

    中考数学,解直角三角形,典型例题分析2:

    小华为了测量楼房AB的高度,他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20m,到达坡顶D处.已知斜坡的坡角为15°.(以下计算结果精确到0.1m)

    (1)求小华此时与地面的垂直距离CD的值;

    (2)小华的身高ED是1.6m,他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°,求楼房AB的高度.

    4e640003afba4be2ff95.jpg

    学好解直角三角形,让中考轻轻松松多拿10分

    解:(1)在Rt△BCD中,∠CBD=15°,BD=20,

    ∴CD=BD•sin15°,

    ∴CD=5.2(m).

    答:小华与地面的垂直距离CD的值是5.2m;

    (2)在Rt△AFE中,

    ∵∠AEF=45°,

    ∴AF=EF=BC,

    由(1)知,BC=BD•cos15°≈19.3(m),

    ∴AB=AF+DE+CD=19.3+1.6+5.2=26.1(m).

    答:楼房AB的高度是26.1m.

    考点分析:

    解直角三角形的应用-仰角俯角问题;解直角三角形的应用-坡度坡角问题。

    题干分析:

    (1)利用在Rt△BCD中,∠CBD=15°,BD=20,得出CD=BD•sin15°求得答案即可;

    (2)由图可知:AB=AF+DE+CD,利用直角三角形的性质和锐角三角函数的意义求得AF得出答案即可。

    解题反思:

    本题考查了解直角三角形的应用,题目中涉及到了仰俯角和坡度角的问题,解题的关键是构造直角三角形。

    我们把锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数。

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    熟记锐角三角函数的概念:

    在△ABC中,∠C=90°

    ①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记为sinA,

    即sinA=∠A的对边/斜边=a/c.

    ②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记为cosA,

    即cosA=∠A的对边/斜边=b/c.

    ③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记为tanA,

    即tanA=∠A的对边/∠A的邻边=a/b.

    ④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切,记为cotA,

    即cotA=∠A的邻边/∠A的对边=b/a.

    认真掌握好以下各锐角三角函数之间的关系:

    1、互余关系

    sinA=cos(90°—A),cosA=sin(90°—A)

    tanA=cot(90°—A),cotA=tan(90°—A)

    2、平方关系

    sin2A+cos2A=1

    3、倒数关系

    tanA·tan(90°—A)=1

    4、弦切关系

    tanA=sinA/cosA

    中考数学,解直角三角形,典型例题分析3:

    如图所示,小明家小区空地上有两颗笔直的树CD、EF.一天,他在A处测得树顶D的仰角∠DAC=30°,在B处测得树顶F的仰角∠FBE=45°,线段BF恰好经过树顶D.已知A、B两处的距离为2米,两棵树之间的距离CE=3米,A、B、C、E四点在一条直线上,求树EF的高度.(结果保留一位小数)

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    考点分析:

    解直角三角形的应用-仰角俯角问题;应用题.

    题干分析:

    设CD=xm,先在Rt△BCD中,由于∠DBC=45°,则根据等腰直角三角形的性质得BC=CD=x,再在Rt△DAC中,利用正切定义得到关于x的关系式,解得x的值,即BC=CD,然后在Rt△FBE中根据等腰直角三角形的性质得FE=BE=BC+CE≈5.7.

    解题反思:

    本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题:仰角是向上看的视线与水平线的夹角;俯角是向下看的视线与水平线的夹角.解决此类问题要了解角之间的关系,找到与已知和未知相关联的直角三角形,当图形中没有直角三角形时,要通过作高或垂线构造直角三角形,另当问题以一个实际问题的形式给出时,要善于读懂题意,把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决。

    运用解直角三角形相关知识去解决实际问题,我们首先要学会从实际问题中建立直角三角形模型,利用锐角三角函数解决实际问题。其中一些“特殊”知识点大家一定要认真记住,如仰角、俯角、坡度等。

    1、仰角:在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角。

    2、俯角:在视线与水平线所成的角中,视线在水平线下方的角叫俯角。

    3、坡度:坡面的铅锤高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡度(坡比),记作i,即i=h/l。

    记住一些特殊角的三角函数值:

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    学好解直角三角形,让中考轻轻松松多拿10分

    根据这个表格,我们发现锐角三角函数的增减性,当角度在0°~90°之间变化时:

    1、正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);

    2、余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大);

    3、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);

    4、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。

    根据近几年的中考数学真题,我们可以看出每年全国很多地方的中考数学试卷都有解直角三角形知识的有关题目,而且都是关于解直角三角形的应用的解答题,所占分值为8分到10分之间,希望大家认真对待,全部拿到这一块分数。


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